Propiedades de las Potencias

Oct 13, 2025 by miodeya.com 34 views

Introducción

La expresión $y^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{2}{3}}$ es un ejemplo de cómo se pueden simplificar expresiones que involucran potencias de números reales positivos. En este artículo, exploraremos cómo simplificar esta expresión y comprenderemos los conceptos subyacentes de las potencias y las propiedades de los exponentes.

Propiedades de las Potencias

Recuerde que cuando multiplicamos dos números reales positivos, podemos sumar sus exponentes. Esto se conoce como la propiedad de la multiplicación de potencias. Por ejemplo, si tenemos $a^m \cdot a^n$ , entonces podemos escribir esto como $a^{m+n}$ . Esta propiedad es fundamental para simplificar expresiones que involucran potencias.

Simplificar la Expresión

Ahora, volvamos a la expresión original: $y^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{2}{3}}$ . Según la propiedad de la multiplicación de potencias, podemos sumar los exponentes de los dos términos:

y^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{2}{5} + \frac{2}{3}}

Simplificar el Exponente

Ahora, necesitamos simplificar el exponente $\frac{2}{5} + \frac{2}{3}$ . Para hacer esto, podemos encontrar un denominador común, que es $15$ . Luego, podemos escribir cada fracción con el denominador común:

\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}

\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}

Ahora, podemos sumar las fracciones:

\frac{6}{15} + \frac{10}{15} = \frac{16}{15}

Conclusión

La expresión $y^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{2}{3}}$ se puede simplificar a $y^{\frac{16}{15}}$ . Esto se logra mediante la propiedad de la multiplicación de potencias y la simplificación del exponente. La comprensión de estas propiedades es fundamental para simplificar expresiones que involucran potencias de números reales positivos.

Ejemplos de Aplicación

La propiedad de la multiplicación de potencias se puede aplicar en una variedad de situaciones. Por ejemplo, si tenemos la expresión $x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{5}}$ , podemos simplificarla de la siguiente manera:

x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{5}} = x^{\frac{3}{4} + \frac{2}{5}}

x^{\frac{3}{4} + \frac{2}{5}} = x^{\frac{15}{20} + \frac{8}{20}}

x^{\frac{15}{20} + \frac{8}{20}} = x^{\frac{23}{20}}

Conclusión Final

En resumen, la expresión $y^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{2}{3}}$ se puede simplificar a $y^{\frac{16}{15}}$ mediante la propiedad de la multiplicación de potencias y la simplificación del exponente. La comprensión de estas propiedades es fundamental para simplificar expresiones que involucran potencias de números reales positivos.

Introducción

En el artículo anterior, exploramos cómo simplificar la expresión $y^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{2}{3}}$ mediante la propiedad de la multiplicación de potencias y la simplificación del exponente. Ahora, vamos a responder a algunas preguntas comunes sobre este tema.

Preguntas y Respuestas

Pregunta 1: ¿Qué es la propiedad de la multiplicación de potencias?

Respuesta: La propiedad de la multiplicación de potencias establece que cuando multiplicamos dos números reales positivos, podemos sumar sus exponentes. Por ejemplo, si tenemos $a^m \cdot a^n$ , entonces podemos escribir esto como $a^{m+n}$ .

Pregunta 2: ¿Cómo se simplifica la expresión $y^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{2}{3}}$ ?

Respuesta: Según la propiedad de la multiplicación de potencias, podemos sumar los exponentes de los dos términos:

y^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{2}{5} + \frac{2}{3}}

Luego, podemos simplificar el exponente $\frac{2}{5} + \frac{2}{3}$ encontrando un denominador común y sumando las fracciones.

Pregunta 3: ¿Qué es un denominador común?

Respuesta: Un denominador común es un número que es común a dos o más fracciones. Por ejemplo, si tenemos las fracciones $\frac{2}{5}$ y $\frac{2}{3}$ , un denominador común es $15$ .

Pregunta 4: ¿Cómo se simplifica un exponente?

Respuesta: Para simplificar un exponente, podemos encontrar un denominador común y sumar las fracciones. Por ejemplo, si tenemos el exponente $\frac{2}{5} + \frac{2}{3}$ , podemos encontrar un denominador común de $15$ y sumar las fracciones:

\frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{6}{15} + \frac{10}{15} = \frac{16}{15}

Pregunta 5: ¿Cuándo se puede aplicar la propiedad de la multiplicación de potencias?

Respuesta: La propiedad de la multiplicación de potencias se puede aplicar siempre que se multipliquen dos números reales positivos. Por ejemplo, si tenemos la expresión $x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{5}}$ , podemos aplicar la propiedad de la multiplicación de potencias para simplificarla.

Conclusión

En resumen, la propiedad de la multiplicación de potencias es una herramienta fundamental para simplificar expresiones que involucran potencias de números reales positivos. Al entender cómo se simplifica un exponente y cómo se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias, podemos resolver problemas complejos con facilidad.

Ejemplos de Aplicación

x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{5}} = x^{\frac{3}{4} + \frac{2}{5}}

x^{\frac{3}{4} + \frac{2}{5}} = x^{\frac{15}{20} + \frac{8}{20}}

x^{\frac{15}{20} + \frac{8}{20}} = x^{\frac{23}{20}}