Perguntas e Respostas sobre a Integral Indefinida

Oct 13, 2025 by miodeya.com 127 views

Determine a Integral Indefinida F(x) = ∫(3t^2 + t/2) dt

Introdução

A integral indefinida é uma das ferramentas mais importantes da análise matemática, e é fundamental para resolver problemas de cálculo. Neste artigo, vamos determinar a integral indefinida de uma função dada, F(x) = ∫(3t^2 + t/2) dt. Vamos começar por entender o que é uma integral indefinida e como ela é calculada.

O que é uma Integral Indefinida?

Uma integral indefinida é uma expressão que representa a área sob uma curva em um intervalo de valores. Ela é representada pela símbolo ∫ e é calculada usando a regra do cálculo. A integral indefinida é usada para resolver problemas de cálculo, como encontrar a área sob uma curva, o volume de um sólido e a distância entre dois pontos.

Cálculo da Integral Indefinida

Agora, vamos calcular a integral indefinida de F(x) = ∫(3t^2 + t/2) dt. Para isso, vamos usar a regra do cálculo, que é:

∫f(x) dx = F(x) + C

onde F(x) é a função antiderivada de f(x) e C é uma constante.

Passo 1: Identificar a Função Antiderivada

A função dada é F(x) = ∫(3t^2 + t/2) dt. Para encontrar a função antiderivada, vamos usar a regra do cálculo. A função antiderivada de 3t^2 é t^3, e a função antiderivada de t/2 é (t^2)/4.

Passo 2: Aplicar a Regra do Cálculo

Agora, vamos aplicar a regra do cálculo para encontrar a função antiderivada de F(x) = ∫(3t^2 + t/2) dt.

∫(3t^2 + t/2) dt = ∫3t^2 dt + ∫t/2 dt = t^3 + (t^2)/4 + C

Conclusão

A integral indefinida de F(x) = ∫(3t^2 + t/2) dt é t^3 + (t^2)/4 + C. Isso significa que a função antiderivada de F(x) é t^3 + (t^2)/4.

Alternativas

Agora, vamos analisar as alternativas e determinar qual delas contém a resposta correta.

A) 12t^3 + 2t^2 + C B) t^3 + t^2 + C C) t^3 + (t^2)/4 + C D) 4t^3 + 3t + 12 + C E) 6t^3 + 12t + C

Análise das Alternativas

A alternativa A) 12t^3 + 2t^2 + C não é a resposta correta, pois a função antiderivada de 3t^2 é t^3, e não 12t^3.

A alternativa B) t^3 + t^2 + C não é a resposta correta, pois a função antiderivada de t/2 é (t^2)/4, e não t^2.

A alternativa C) t^3 + (t^2)/4 + C é a resposta correta, pois é a função antiderivada de F(x) = ∫(3t^2 + t/2) dt.

A alternativa D) 4t^3 + 3t + 12 + C não é a resposta correta, pois a função antiderivada de 3t^2 é t^3, e não 4t^3.

A alternativa E) 6t^3 + 12t + C não é a resposta correta, pois a função antiderivada de t/2 é (t^2)/4, e não 12t.

Conclusão

A integral indefinida de F(x) = ∫(3t^2 + t/2) dt é t^3 + (t^2)/4 + C. A alternativa C) t^3 + (t^2)/4 + C é a resposta correta.
Perguntas e Respostas sobre a Integral Indefinida

Q: O que é uma integral indefinida?

A: Uma integral indefinida é uma expressão que representa a área sob uma curva em um intervalo de valores. Ela é representada pela símbolo ∫ e é calculada usando a regra do cálculo.

Q: Como é calculada a integral indefinida?

A: A integral indefinida é calculada usando a regra do cálculo, que é:

∫f(x) dx = F(x) + C

onde F(x) é a função antiderivada de f(x) e C é uma constante.

Q: O que é a função antiderivada?

A: A função antiderivada é a função que é derivada da função dada. Ela é usada para calcular a integral indefinida.

Q: Como é encontrada a função antiderivada?

A: A função antiderivada é encontrada usando a regra do cálculo. A função antiderivada de uma função dada é a função que é derivada da função dada.

Q: Qual é a importância da integral indefinida?

A: A integral indefinida é fundamental para resolver problemas de cálculo, como encontrar a área sob uma curva, o volume de um sólido e a distância entre dois pontos.

Q: Como é aplicada a integral indefinida em problemas reais?

A: A integral indefinida é aplicada em problemas reais, como encontrar a área sob uma curva, o volume de um sólido e a distância entre dois pontos. Ela é usada em diversas áreas, como física, engenharia e economia.

Q: Qual é a diferença entre a integral indefinida e a integral definida?

A: A integral indefinida é uma expressão que representa a área sob uma curva em um intervalo de valores, enquanto a integral definida é uma expressão que representa a área sob uma curva em um intervalo específico.

Q: Como é calculada a integral definida?

A: A integral definida é calculada usando a regra do cálculo, que é:

∫f(x) dx = F(b) - F(a)

onde F(b) é a função antiderivada avaliada em b e F(a) é a função antiderivada avaliada em a.

Q: Qual é a importância da integral definida?

A: A integral definida é fundamental para resolver problemas de cálculo, como encontrar a área sob uma curva em um intervalo específico.

Q: Como é aplicada a integral definida em problemas reais?

A: A integral definida é aplicada em problemas reais, como encontrar a área sob uma curva em um intervalo específico. Ela é usada em diversas áreas, como física, engenharia e economia.

Conclusão

A integral indefinida é uma ferramenta fundamental para resolver problemas de cálculo. Ela é usada para encontrar a área sob uma curva, o volume de um sólido e a distância entre dois pontos. A integral definida é uma ferramenta que é usada para encontrar a área sob uma curva em um intervalo específico. Ambas as integrais são fundamentais para resolver problemas de cálculo e são usadas em diversas áreas.