Perguntas e Respostas sobre a Derivada

Oct 13, 2025 by miodeya.com 1 views

Determinar a Derivada da Função ${ f(x) = x^2 + 3x + 2 }$

A derivada de uma função é uma medida da taxa de mudança da função em relação à variável independente. Ela é fundamental em cálculo e é usada em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Neste artigo, vamos determinar a derivada da função ${ f(x) = x^2 + 3x + 2 }$ e discutir as alternativas corretas para a derivada ${ f'(x) }$ .

O que é a Derivada?

A derivada de uma função ${ f(x) }$ é denotada por ${ f'(x) }$ e é definida como a taxa de mudança da função em relação à variável independente ${ x }$ . Ela é calculada como a limitação de uma diferença de valores da função, dividida pela diferença correspondente de valores de ${ x }$ .

Cálculo da Derivada

Para determinar a derivada da função ${ f(x) = x^2 + 3x + 2 }$ , precisamos aplicar as regras de cálculo da derivada. A derivada de uma função polinomial é calculada usando a regra da potência, que estabelece que a derivada de ${ x^n }$ é ${ nx^{n-1} }$ .

Aplicação da Regra da Potência

A função ${ f(x) = x^2 + 3x + 2 }$ é uma função polinomial de grau 2. Seguindo a regra da potência, a derivada de ${ x^2 }$ é ${ 2x }$ , a derivada de ${ 3x }$ é ${ 3 }$ e a derivada de ${ 2 }$ é ${ 0 }$ .

Cálculo da Derivada

Agora, podemos calcular a derivada da função ${ f(x) = x^2 + 3x + 2 }$ usando as regras de cálculo da derivada:

${ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + 3x + 2) }$ ${ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) + \frac{d}{dx} (3x) + \frac{d}{dx} (2) }$ ${ f'(x) = 2x + 3 + 0 }$ ${ f'(x) = 2x + 3 }$

Alternativas Corretas para a Derivada

Agora que sabemos que a derivada da função ${ f(x) = x^2 + 3x + 2 }$ é ${ 2x + 3 }$ , podemos discutir as alternativas corretas para a derivada ${ f'(x) }$ .

a) ${ 2x + 3 }$ - Esta é a resposta correta.
b) ${ 3x + 2 }$ - Esta não é a resposta correta, pois a derivada de ${ 3x }$ é ${ 3 }$ , não ${ 3x }$ .
c) ${ x + 3 }$ - Esta não é a resposta correta, pois a derivada de ${ x^2 }$ é ${ 2x }$ , não ${ x }$ .
d) ${ 2x + 2 }$ - Esta não é a resposta correta, pois a derivada de ${ 2 }$ é ${ 0 }$ , não ${ 2 }$ .

Conclusão

Em resumo, a derivada da função ${ f(x) = x^2 + 3x + 2 }$ é ${ 2x + 3 }$ . As alternativas corretas para a derivada ${ f'(x) }$ são a) ${ 2x + 3 }$ . A derivada é uma medida importante da taxa de mudança de uma função e é usada em diversas áreas. A regra da potência é fundamental para calcular a derivada de uma função polinomial.

Referências

Cálculo. Livro de texto de cálculo, 3ª edição.
Derivada. Artigo da Wikipedia sobre a derivada.
Regra da Potência. Artigo da Wikipedia sobre a regra da potência.

Palavras-chave

Derivada
Cálculo
Regra da Potência
Função Polinomial
Taxa de Mudança
Perguntas e Respostas sobre a Derivada

A derivada é uma medida importante da taxa de mudança de uma função e é usada em diversas áreas. Aqui estão algumas perguntas e respostas sobre a derivada:

Pergunta 1: O que é a derivada?

Resposta: A derivada de uma função ${ f(x) }$ é a taxa de mudança da função em relação à variável independente ${ x }$ . Ela é calculada como a limitação de uma diferença de valores da função, dividida pela diferença correspondente de valores de ${ x }$ .

Pergunta 2: Como calcular a derivada de uma função polinomial?

Resposta: A derivada de uma função polinomial é calculada usando a regra da potência, que estabelece que a derivada de ${ x^n }$ é ${ nx^{n-1} }$ . Por exemplo, a derivada de ${ x^2 }$ é ${ 2x }$ e a derivada de ${ 3x }$ é ${ 3 }$ .

Pergunta 3: Qual é a importância da derivada?

Resposta: A derivada é importante porque ela permite calcular a taxa de mudança de uma função em relação à variável independente. Isso é útil em diversas áreas, como física, engenharia e economia.

Pergunta 4: Como usar a derivada em problemas práticos?

Resposta: A derivada pode ser usada em problemas práticos para calcular a taxa de mudança de uma função em relação à variável independente. Por exemplo, se você estiver estudando a movimentação de um objeto, a derivada pode ser usada para calcular a velocidade do objeto em relação ao tempo.

Pergunta 5: Qual é a diferença entre a derivada e a integral?

Resposta: A derivada e a integral são conceitos opostos. A derivada calcula a taxa de mudança de uma função em relação à variável independente, enquanto a integral calcula a área sob a curva da função.

Pergunta 6: Como calcular a derivada de uma função trigonométrica?

Resposta: A derivada de uma função trigonométrica é calculada usando as regras de cálculo da derivada. Por exemplo, a derivada de ${ \sin(x) }$ é ${ \cos(x) }$ e a derivada de ${ \cos(x) }$ é ${ -\sin(x) }$ .

Pergunta 7: Qual é a importância da regra da potência?

Resposta: A regra da potência é importante porque ela permite calcular a derivada de uma função polinomial. Isso é útil em diversas áreas, como física, engenharia e economia.

Pergunta 8: Como usar a regra da potência em problemas práticos?

Resposta: A regra da potência pode ser usada em problemas práticos para calcular a derivada de uma função polinomial. Por exemplo, se você estiver estudando a movimentação de um objeto, a regra da potência pode ser usada para calcular a velocidade do objeto em relação ao tempo.

Pergunta 9: Qual é a diferença entre a regra da potência e a regra da produto?

Resposta: A regra da potência e a regra da produto são conceitos relacionados. A regra da potência calcula a derivada de uma função polinomial, enquanto a regra da produto calcula a derivada de uma função que é o produto de duas funções.

Pergunta 10: Como calcular a derivada de uma função que é o produto de duas funções?

Resposta: A derivada de uma função que é o produto de duas funções é calculada usando a regra da produto, que estabelece que a derivada de ${ f(x)g(x) }$ é ${ f'(x)g(x) + f(x)g'(x) }$ .

Conclusão

Em resumo, a derivada é uma medida importante da taxa de mudança de uma função e é usada em diversas áreas. A regra da potência é fundamental para calcular a derivada de uma função polinomial. Aqui estão algumas perguntas e respostas sobre a derivada e a regra da potência.

Referências

Cálculo. Livro de texto de cálculo, 3ª edição.
Derivada. Artigo da Wikipedia sobre a derivada.
Regra da Potência. Artigo da Wikipedia sobre a regra da potência.

Palavras-chave

Derivada
Cálculo
Regra da Potência
Função Polinomial
Taxa de Mudança
Regra da Produto