Aplicaciones del desarrollo de funciones

Oct 13, 2025 by miodeya.com 56 views

2. Encuentre el término independiente en el desarrollo de (x2 - 1/x)9

Introducción

El desarrollo de una función es una herramienta fundamental en el cálculo, que nos permite expresar una función como una serie de términos. En este caso, estamos tratando de encontrar el término independiente en el desarrollo de la función (x2 - 1/x)9. Para ello, necesitamos utilizar las técnicas de expansión y simplificación de expresiones algebraicas.

Desarrollo de la función

Para encontrar el término independiente en el desarrollo de (x2 - 1/x)9, podemos comenzar expandiendo la expresión usando la regla de potencia (a - b)^n = a^n - na^(n-1)b + ... + (-1)^n b^n.

(x2 - 1/x)9 = (x2)^9 - 9(x2)^8(1/x) + 36(x2)^7(1/x)2 - 84(x2)^6(1/x)3 + 126(x2)^5(1/x)4 - 126(x2)^4(1/x)5 + 84(x2)^3(1/x)6 - 36(x2)^2(1/x)7 + 9(x2)(1/x)^8 - (1/x)^9

Simplificación de la expresión

Ahora que tenemos la expansión de la función, podemos simplificar la expresión para encontrar el término independiente. Para ello, podemos comenzar restando los términos que contienen x en el denominador.

(x2)^9 - 9(x2)^8(1/x) + 36(x2)^7(1/x)2 - 84(x2)^6(1/x)3 + 126(x2)^5(1/x)4 - 126(x2)^4(1/x)5 + 84(x2)^3(1/x)6 - 36(x2)^2(1/x)7 + 9(x2)(1/x)^8 - (1/x)^9

= x^18 - 9x^16 + 36x^14 - 84x^12 + 126x^10 - 126x^8 + 84x^6 - 36x^4 + 9x^2 - 1/x^9

Identificación del término independiente

Ahora que hemos simplificado la expresión, podemos identificar el término independiente. El término independiente es el término que no contiene x en el denominador. En este caso, el término independiente es -1/x^9.

Conclusión

En conclusión, el término independiente en el desarrollo de (x2 - 1/x)9 es -1/x^9. Esto se debe a que el término independiente es el término que no contiene x en el denominador. La expansión y simplificación de la función nos permitieron identificar el término independiente y obtener la respuesta final.

Aplicaciones del desarrollo de funciones

El desarrollo de funciones es una herramienta fundamental en el cálculo, que nos permite expresar una función como una serie de términos. Las aplicaciones del desarrollo de funciones son numerosas, y se pueden utilizar en una variedad de campos, como la física, la ingeniería y la economía.

Ejemplos de desarrollo de funciones

A continuación, se presentan algunos ejemplos de desarrollo de funciones:

El desarrollo de la función seno (sin(x)) es: sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
El desarrollo de la función coseno (cos(x)) es: cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
El desarrollo de la función exponencial (e^x) es: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...

Referencias

"Cálculo" de Michael Spivak
"Análisis matemático" de Walter Rudin
"Cálculo diferencial e integral" de James Stewart

Palabras clave

Desarrollo de funciones
Término independiente
Expansión de expresiones algebraicas
Simplificación de expresiones algebraicas
Cálculo
Análisis matemático